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Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.1 Définition, premier contact

^|^{qui contient plein d'axiomes et je}^|^{définition si toute une liste d'axiomes}^|^{Les 3é et 4é axiomes sont des règles de}^|^{une liste d'axiomes comme celle-ci.}^|^{axiomes qui seront utiles dans les}^|^{des 8 axiomes quelque part. Le premier}^|^{un des axiomes, que u = 1 x u . Ensuite}^|^{et ça c'était un des axiomes. Donc voilà}^|^{axiomes. Chaque axiome a été utilisé au}^|^{il faudrait vérifier tous ces axiomes et}^|^{pas vérifié tous les axiomes mais on}^|

3.2 L'espace des coordonnées

^|^{Et puis, on vérifie tous les axiomes.}^|

3.3 D'autres exemples importants

^|^{Si on imagine la liste d'axiomes}^|^{Après, on suit la liste des axiomes,}^|

3.4 Sous-espaces vectoriels

^|^{axiomes, on les aura gratuitement, parce}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{et c'est la notion de la base}^|

4.3 Bases et dimension

^|^{une base d'un espace vectoriel.}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.11 Coordonnées par rapport à une base

^|^{Une base ordonnée ( je souligne ) ...}^|^{une base ordonnée d'un R espace vectoriel V}^|^{une base ordonnée d'un R espace vectoriel V}^|^{évidemment du choix de la base.}^|^{Voilà la définition : une base ordonnée}^|^{c'est une base, mais on fixe un ordre.}^|^{Quand on se donne une base ordonnée}^|^{L'idée est de rester dans cette base}^|

4.12 Comment trouver une base à partir d'un système de générateurs

^|^{par rapport à une base ordonnée fixe.}^|^{avec une base ordonnée}^|^{Fixons la base B, je vais prendre}^|^{la base ordonnée E11, E12, E13, E21,}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.1 Introduction et définition

^|^{à coefficients réels,}^|

1.2 Nombre de solutions d'un système linéaire

^|^{à n inconnues, à coefficients réels.}^|^{aux inconnues x1 jusqu'à xn, à coefficients réels.}^|^{à coefficients réels,}^|

1.3 Méthodes de résolution, opérations élémentaires

^|^{linéaires à un inconnu, à coefficients réels}^|

1.4 Opérations élémentaires : version matricielle

^|^{et on dit aussi "à coefficients réels".}^|^{matrice m x n à coefficients réels, il y a}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.1 Addition, multiplication par un scalaire, transposée

^|^{Définition : on écrit M m x n(R), l'ensemble des matrices m x n à coefficients réels}^|^{Cela sera aussi une matrice m x n à coefficients réels.}^|^{Je prends une matrice m x n, à coefficients réels.}^|

2.2 La multiplication de matrices

^|^{à coefficients réels et une matrice B}^|^{qui sera une matrice m x n à coefficients}^|

2.4 Systèmes d'équations et matrices

^|^{Donc ce n'est pas vraiment une matrice à coefficients réels}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.2 L'espace des coordonnées

^|^{à coefficients réels.}^|

3.3 D'autres exemples importants

^|^{J'ai déjà l'ensemble des matrices m x n à coefficients réels.}^|^{Donc ça, c'est l'ensemble des matrices à coefficients réels, on les connaît.}^|^{à coefficients réels}^|

3.4 Sous-espaces vectoriels

^|^{à coefficients réels et puis là-dedans}^|^{polynoméales à coefficients réels.}^|^{les matrices n x m à coefficients réels}^|^{n x m à coefficients réels. D'abord, je}^|^{fonctions polynoméales à coefficients}^|^{m équations linéaires à coefficients réels}^|^{à coefficients réels. Le x c'est la}^|

3.6 La somme de sous-espaces vectoriels

^|^{2 x 2 à coefficients réels. Je pose W1}^|^{à coefficients réels. Puis, je pose w2}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{à coefficients réels, existe-t-il α, β,}^|

4.3 Bases et dimension

^|^{Dans les polynomes à coefficients réels,}^|^{De nouveau, tout polynome à coefficients}^|^{coefficients réels mais de degré o + n,}^|^{des matrices m x n à coefficients}^|^{à coefficients réels est de dimensions}^|

4.7 La dimension d'un sous-espace

^|^{coefficients réels de degré au plus 3 ,}^|

4.9 Rang-ligne, rang-colonne d'une matrice

^|^{coefficients réels. Je définis deux}^|

4.11 Coordonnées par rapport à une base

^|^{à coefficients réels, et là je fixe}^|^{une matrice 2 fois 2 à coefficients réels}^|

4.12 Comment trouver une base à partir d'un système de générateurs

^|^{matrices 2 x 3 à coefficients réels,}^|^{2 x 3 à coefficients réels ...}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{une collection de vecteurs dans V .}^|

4.8 La dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

^|^{l'ensemble, la collection de vecteurs que}^|^{Ça c'est une collection de vecteurs}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.5 Combinaisons linéaires, sous-espaces engendrés par une famille de vecteurs

^|^{éléments de V . Une combinaison}^|^{combinaison linéaire de ces vecteurs.}^|^{combinaison linéaire des éléments de S}^|^{énorme combinaison linéaire de}^|^{combinaison linéaire de ces vecteurs-là,}^|

3.6 La somme de sous-espaces vectoriels

^|^{un scalaire, la combinaison linéaire}^|

3.7 Espace ligne, espace colonne d'une matrice

^|^{combinaison linéaire suivante ...}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

4.2 Dépendance et indépendance linéaires : propriétés et critères

4.3 Bases et dimension

^|^{combinaison linéaire de ces vecteurs-là}^|^{et on ne peut pas faire une combinaison}^|^{combinaison linéaire d'un certain}^|^{Ici, il n'y a aucune combinaison}^|^{combinaison linéaire de ces vecteurs-là.}^|^{combinaison linéaire.}^|^{s'écrit comme une combinaison linéaire}^|^{qui s'écrivent comme une combinaison}^|^{comme une combinaison linéaire de ces}^|^{exprimer V3 comme une combinaison}^|

4.4 Dimension

^|^{qu'il existe un des Vi qui est une combinaison linéaire des autres.}^|^{et que la combinaison linéaire donne 0.}^|^{peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.}^|^{comme une combinaison linéaire des vecteurs dans S.}^|^{et je fais une combinaison linéaire α x ça + β x ça + γ}^|^{donc ça serait le polynôme qui est la combinaison linéaire}^|

4.5 Bases dans un espace de dimension connue

^|^{qu'il y a une combinaison linéaire des vecteurs dans S qui vaut 0.}^|^{cette combinaison linéaire vaut 0}^|

4.6 Systèmes homogènes et base de l'espace des solutions

^|^{on peut l'écrire comme une combinaison}^|^{combinaison linéaire vale 0 .}^|

4.8 La dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

^|^{comme une combinaison linéaire,}^|^{comme une combinaison linéaire de cet}^|^{C'est une grande combinaison linéaire,}^|^{combinaison linéaire des vecteurs}^|^{combinaison linéaire qui vaut 0 et on a}^|

4.9 Rang-ligne, rang-colonne d'une matrice

^|^{une combinaison linéaire de ces}^|^{ligne de A est une combinaison linéaire}^|^{ligne de B est une combinaison linéaire}^|^{nulles. Si vous faites une combinaison}^|^{cette idée de combinaison linéaire.}^|

4.10 Rang-colonne et systèmes d'équations

^|^{que b jusqu'à bm est une combinaison linéaire des colonnes de A,}^|^{faire la combinaison linéaire, et je trouve b1 jusqu'à bm.}^|

4.11 Coordonnées par rapport à une base

^|^{v comme une combinaison linéaire}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.5 Combinaisons linéaires, sous-espaces engendrés par une famille de vecteurs

^|^{combinaisons linéaires des vecteurs}^|^{ici, je prends toutes les combinaisons}^|^{S peut être infini. Les combinaisons}^|^{linéaires, elles, sont des combinaisons}^|^{combinaisons linéaires de ces monomes}^|^{toutes les combinaisons linéaires. On}^|^{c'est toutes les combinaisons linéaires}^|^{des combinaisons linéaires.}^|

3.7 Espace ligne, espace colonne d'une matrice

^|^{combinaisons linéaires comme ceci.}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.2 Dépendance et indépendance linéaires : propriétés et critères

^|^{combinaisons linéaires de ces vecteurs.}^|

4.3 Bases et dimension

^|^{tous les vecteurs dans V, les combinaisons}^|

4.9 Rang-ligne, rang-colonne d'une matrice

^|^{combinaisons linéaires des lignes de B .}^|^{combinaisons linéaires de la deuxième,}^|^{et donc les combinaisons linéaires des}^|^{combinaisons linéaires des lignes de B .}^|^{dont les lignes sont des combinaisons}^|^{sont des combinaisons linéaires des}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.2 L'espace des coordonnées

^|^{Maintenant je décide que je vais la représenter par ses coordonnées,}^|^{et puis, je vais la représenter par ses coordonnées}^|^{ou les coordonnées de son point d'arrivée.}^|^{Donc je peux la représenter par ses coordonnées.}^|^{Ici, imaginez que u est le vecteur avec les coordonnées (a,b).}^|^{et que ses coordonnées sont les coordonnées (c,d),}^|^{Et je voudrais trouver les coordonnées de u + v.}^|^{en termes de coordonnées,}^|^{on additionne les coordonnées correspondants.}^|^{les coordonnées}^|^{L'inverse d'un vecteur est donc le vecteur où l'on donne l'opposé des coordonnées.}^|

3.3 D'autres exemples importants

^|^{Il y a une notion de coordonnées}^|

3.7 Espace ligne, espace colonne d'une matrice

^|^{dernières coordonnées sont égales.}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{les coordonnées à gauche}^|^{et les coordonnées à droite et cela donne}^|

4.4 Dimension

^|^{On compte et on voit qu'il y a n coordonnées.}^|

4.11 Coordonnées par rapport à une base

^|^{de ce qui s'appelle les coordonnées d'un vecteur}^|^{jusqu'à αn les coordonnées de v}^|^{et là je liste les coordonnées}^|^{les coordonnées de v .}^|^{en colonnes des coordonnées.}^|^{de la représentation par les coordonnées,}^|^{j'écris les coordonnées...}^|^{c'est très facile de voir les coordonnées}^|^{les coordonnées. Ensuite, nous aborderons}^|

4.12 Comment trouver une base à partir d'un système de générateurs

^|^{représentent les coordonnées des}^|^{les coordonnées des vecteurs dans V.}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.11 Décomposition en blocs

^|^{Voilà une décomposition en blocs.}^|^{décomposition en blocs et voir ce que}^|^{Je vais faire une décomposition}^|^{décomposition en blocs et obtenir le}^|^{Une première décomposition en blocs de}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.8 Décomposition LU (existence)

^|^{décomposition LU.}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.2 Dépendance et indépendance linéaires : propriétés et critères

^|^{notion de dépendance}^|^{et d'indépendance linéaire.}^|^{dépendance linéaire et ensuite on a fait}^|

4.3 Bases et dimension

^|^{on a parlé de l'indépendance}^|^{et dépendance linéaire et de}^|

4.4 Dimension

^|^{Et comme l'un de nos critères pour la dépendance linéaire,}^|

4.8 La dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

^|^{montrer l'indépendance linéaire.}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.3 Bases et dimension

^|^{la définition de ce qu'est la dimension}^|

4.4 Dimension

^|^{Ça nous permet enfin de définir ce qu'est la notion de la dimension}^|

4.8 La dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

^|^{Nous continuons d'étudier la dimension}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.4 Dimension

^|^{de dimension finie, ça veut dire qu'il existe une base finie}^|^{Soit V un R espace vectoriel de dimension finie}^|^{que si on est dans un espace vectoriel de dimension finie,}^|^{Je me donne un espace vectoriel de dimension finie.}^|^{Mais, ça doit s'arrêter parce que l'espace vectoriel est de dimension finie.}^|

4.5 Bases dans un espace de dimension connue

^|^{C'est dans un espace de dimension finie que nous avons montré ça.}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.1 Introduction et définition

^|^{un système d’équations linéaires, et pour ça je donne d’abord une définition}^|^{de ce que c’est une équation linéaire.}^|^{Définition : une équation linéaire}^|^{Donc on a des équations linéaires à deux inconnues.}^|^{Maintenant une équation linéaire à deux inconnues}^|^{Ce sont les équations à trois inconnues.}^|^{Une équation linéaire à trois inconnues est une équation de la forme :}^|

1.4 Opérations élémentaires : version matricielle

^|^{sur les équations d'un système}^|^{(l'équation linéaire).}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.11 Décomposition en blocs

^|^{les espaces vectoriels.}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.1 Définition, premier contact

^|^{espaces vectoriels. Il faut voir les}^|^{l'étude des espaces vectoriels et les}^|^{espaces vectoriels.}^|^{espaces vectoriels et c'est souvent un 0}^|^{géométriques sont des R espaces}^|

3.2 L'espace des coordonnées

^|^{Nous continuons avec l'étude des espaces vectoriels.}^|

3.3 D'autres exemples importants

^|^{d'espaces vectoriels.}^|^{Tous les espaces vectoriels que nous avons vus jusqu'à maintenant}^|

3.5 Combinaisons linéaires, sous-espaces engendrés par une famille de vecteurs

^|^{sous-espaces vectoriels et maintenant}^|^{sous-espaces vectoriels d'un espace}^|^{tous les sous-espaces vectoriels de V}^|

3.6 La somme de sous-espaces vectoriels

^|^{des sous-espaces vectoriels de V .}^|

3.7 Espace ligne, espace colonne d'une matrice

^|^{matrice donnée deux sous-espaces}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.2 Dépendance et indépendance linéaires : propriétés et critères

^|^{espaces vectoriels engendrés par ces}^|

4.3 Bases et dimension

^|^{Dans chacun des espaces vectoriels}^|

4.8 La dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

^|^{de sous-espaces vectoriels qui sont de}^|^{Par contre l'on se donne deux sous-espaces}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.7 Résolution de systèmes linéaires

^|^{ces inconnues là s'appellent les inconnues libres.}^|^{s'appellent les inconnues principales.}^|^{Donc on a les inconnues libres}^|^{les inconnues libres peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle.}^|^{c'est pour ça qu'on les appelle les inconnues libres.}^|^{pour trouver les valeurs des inconnues principales}^|^{en termes de ces inconnues libres.}^|^{d'inconnues libres, inconnues principales.}^|^{donc x₄ et x₅ vont être mes inconnues libres.}^|^{Donc x₄ et x₅ sont les inconnues libres.}^|^{Et les autres inconnues, les inconnues principales x₁ x₂ x₃}^|^{je vais les trouver en termes de ces inconnues libres et de valeurs réelles.}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.6 Systèmes homogènes et base de l'espace des solutions

^|^{inconnues avaient un pivot et les autres}^|^{correspondaient aux inconnues libres}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.7 Résolution de systèmes linéaires

^|^{s'appellent les inconnues principales.}^|^{Donc on a les inconnues libres}^|^{et les inconnues principales.}^|^{pour trouver les valeurs des inconnues principales}^|^{d'inconnues libres, inconnues principales.}^|^{Et les autres inconnues, les inconnues principales x₁ x₂ x₃}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.2 Dépendance et indépendance linéaires : propriétés et critères

^|^{et d'indépendance linéaire.}^|

4.8 La dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

^|^{montrer l'indépendance linéaire.}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.3 Matrices carrées, inversibles, triangulaires, diagonales

^|^{son inverse est unique.}^|^{On l'appelle la matrice inverse, l'inverse de A,}^|^{ou la matrice inverse de A.}^|^{il y a une unique matrice qui sert comme inverse.}^|^{enfin, je vais vous donner l'inverse de cette matrice,}^|^{et son inverse est égale à l'autre matrice que j'ai donné,}^|^{comme je sais que l'inverse est unique.}^|

2.4 Systèmes d'équations et matrices

^|^{donc c'est à dire, A inverse existe,}^|^{c'est que je veux voir comment trouver l'inverse d'une matrice,}^|^{et comment calculer cette inverse.}^|

2.5 Matrices élémentaires

^|^{est inversible et son inverse est la}^|^{sont inversibles, les inverses des}^|^{pour calculer l'inverse d'une matrice.}^|

2.6 Premier critère d'inversibilité et calcul de l'inverse

^|^{une méthode pour calculer l'inverse d'une matrice.}^|^{par l'inverse de Et,}^|^{Ensuite, je vais multiplier à gauche par l'inverse Et⁻¹}^|^{Donc, en fait, on avait que A est égal à l'inverse de cette matrice.}^|^{ce que j'aurai ici, à droite, sera l'inverse de A.}^|^{et puis, on trouve l'inverse.}^|^{et, en plus, calculer son inverse.}^|^{Et puis, je continue, j'aimerais trouver l'inverse.}^|

2.7 D'autres critères d'inversibilité

^|^{disons, avec inverse, C⁻¹.}^|^{Donc je vais utiliser cette inverse,}^|

2.8 Décomposition LU (existence)

^|^{A est l'inverse de cette matrice-là.}^|^{matrices inversibles, pour faire l'inverse}^|^{inversements dans l'autre sens.}^|^{Donc ça c'est E 1 inverse, E t inverse}^|^{Je sais aussi que l'inverse d'un E i est}^|^{l'inverse de D r de lambda c'est D r de}^|^{un seul sur lambda, et que l'inverse de}^|^{l'inverse est de nouveau une matrice}^|

2.9 Décomposition LU (algorithme)

^|^{Donc, là, A est égal à l'inverse de cette matrice fois U}^|^{et puis l'inverse d'un produit,}^|^{c'est le produit des inverses mis dans l'autre sens.}^|^{et je vais opérer par l'inverse de l'opération élémentaire n°1,}^|^{l'inverse de l'opération élémentaire n°2, etc.}^|^{Et ici, en bas, je vais faire l'inverse de cette opération,}^|^{donc l'inverse d'une matrice Lᵣₛ, c'est comme ça,}^|^{Et puis ici, je dois faire l'inverse de cette opération,}^|^{Et puis ici, je vais faire l'opération inverse,}^|^{donc l'inverse de ça, c'est avec un 1 ici.}^|^{et puis on va faire les opérations inverses de ce qu'on fait ici,}^|^{et puis les opérations inverses, et sur les colonnes de cette matrice-là.}^|^{comme quand on calcule l'inverse d'une matrice,}^|

2.11 Décomposition en blocs

^|^{trouver son inverse.}^|^{l'inverse donc je fais une hypothèse ici}^|^{je mets ici l'inverse de A₁,₁}^|^{et ici l'inverse de A₂,₂,}^|^{va fonctionner comme inverse a aussi}^|^{l'inverse de cette matrice-là.}^|^{je peux multiplier par son inverse}^|^{A₁,₁⁻¹, donc l'inverse de ce bloc,}^|^{A₂,₂⁻¹ l'inverse de ce bloc,}^|^{Donc on a trouvé l'inverse de la matrice}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.1 Définition, premier contact

^|^{inverse par rapport à cette addition et}^|^{existe un inverse par rapport à l'addition}^|^{élément inverse, donc il existe un u'}^|^{inverses, donc supposons que u + u' =}^|^{l'élément inverse de u doit être unique}^|^{comme un inverse. Je fais -1 x u + u .}^|^{permis d'écrire -u pour l'inverse.}^|

3.2 L'espace des coordonnées

^|^{L'inverse d'un vecteur est donc le vecteur où l'on donne l'opposé des coordonnées.}^|

3.3 D'autres exemples importants

^|^{l'inverse de l'élément neutre, c'est lui-même,}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.3 Bases et dimension

^|^{Ensuite j'inverse les rôles de B' et de B,}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.4 Opérations élémentaires : version matricielle

^|^{On associe aussi une autre matrice qui}^|^{s'appelle la matrice augmentée du système}^|^{Ça s'appelle la matrice augmentée}^|^{Donc ça, c'est la matrice}^|^{en travaillant avec la matrice augmentée,}^|^{et puis j'écris la matrice}^|^{Donc ça c'est trois fois la même matrice,}^|^{c'est la matrice augmentée de ce système}^|

1.5 Matrices échelonnées, réduites

^|^{le fait d'avoir une matrice augmentée}^|^{dans le sens où ça, c'est la matrice augmentée d'un sytème}^|

1.7 Résolution de systèmes linéaires

^|^{d'abord, je vais poser la matrice augmentée du système,}^|^{la matrice augmentée,}^|^{que j'ai déjà échelonné la matrice augmentée}^|^{J'ai écrit d'abord la matrice augmentée du système, qui est celle-ci.}^|

1.8 Résumé de la méthode, systèmes homogènes

^|^{la matrice augmentée}^|^{et vous faites les opérations élémentaires sur la ligne de la matrice augmentée,}^|^{C'est la première fois qu'on se sert de la matrice des coefficients,}^|^{jusqu'à maintenant on a toujours utilisé toute la matrice augmentée,}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.10 Rang-colonne et systèmes d'équations

^|^{Posons A la matrice des coeffficients, et A chapeau ( Â ) la matrice augmentée.}^|^{ensuite je dois calculer le rang colonne de la matrice augmentée.}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.4 Opérations élémentaires : version matricielle

^|^{et la première matrice}^|^{est la matrice des coefficients}^|^{matrice des coefficients du système.}^|^{parce qu'on va prendre la matrice des}^|

1.8 Résumé de la méthode, systèmes homogènes

^|^{c'est qu'on peut travailler avec la matrice des coefficients.}^|^{C'est la première fois qu'on se sert de la matrice des coefficients,}^|^{mais ici, dans cet exemple, au lieu de travailler avec cette matrice là,}^|^{je peux travailler avec la matrice des coefficients.}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.4 Systèmes d'équations et matrices

^|^{et puis, la matrice des coefficients.}^|^{et la matrice des coefficients, c'est une matrice m x n.}^|^{Je pose la matrice des coefficients,}^|^{dont la matrice des coefficients est carrée,}^|^{avec la même matrice des coefficients et la colonne des constantes qui varie.}^|

2.6 Premier critère d'inversibilité et calcul de l'inverse

^|^{tout système, avec matrice des coefficients A,}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.4 Sous-espaces vectoriels

^|^{Donc cela signifie que A est la matrice}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{Voici la matrice du système, la matrice}^|

4.5 Bases dans un espace de dimension connue

^|^{Je pose la matrice des coefficients.}^|

4.7 La dimension d'un sous-espace

^|^{homogène, je pose la matrice des}^|

4.10 Rang-colonne et systèmes d'équations

^|^{Donc je prends les colonnes de la matrice des coefficients,}^|^{si et seulement si je calcule le rang colonne de la matrice des coefficients}^|^{où la matrice des coefficients est pareille dans les deux systèmes,}^|^{Posons A, la matrice des coefficients :}^|^{Je commence avec la matrice des coefficients, je calcule le rang colonne de cette matrice,}^|^{justement quand on a plusieurs systèmes avec la même matrice des coefficients}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.3 Matrices carrées, inversibles, triangulaires, diagonales

^|^{Ici j'ai deux matrices 2 x 2, donc des matrices carrées,}^|^{pour des matrices carrées, non carrées,}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.5 Matrices échelonnées, réduites

^|^{et c'est ici que je vous montre les matrices,}^|^{que j'appelle les matrices échelonnées,}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.8 Décomposition LU (existence)

^|^{Mais les matrices échelonnées sont}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.5 Matrices élémentaires

^|^{Ici, nous allons introduire les matrices}^|^{nous aurons des matrices élémentaires}^|^{matrices élémentaires est le théorème}^|^{c'est que les matrices élémentaires}^|^{exercices. Donc, les matrices élémentaires}^|^{matrices élémentaires sont aussi des}^|^{matrices élémentaires et tout cela va}^|

2.6 Premier critère d'inversibilité et calcul de l'inverse

^|^{une très jolie application des matrices élémentaires.}^|^{qu'on peut utiliser les matrices élémentaires}^|^{par les matrices élémentaires.}^|^{de matrices élémentaires E₁, E₂, jusqu'à Et}^|^{par ces matrices élémentaires,}^|^{de matrices élémentaires à gauche,}^|^{et on passe à droite toutes ces matrices élémentaires, car elles sont inversibles,}^|

2.8 Décomposition LU (existence)

^|^{qui nous montre que les matrices}^|^{Par l'hypothèse, il existe des matrices}^|^{matrices élémentaires, chacune est}^|^{par les matrices élémentaires. Cela}^|

2.9 Décomposition LU (algorithme)

^|^{par les matrices élémentaires}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.6 Premier critère d'inversibilité et calcul de l'inverse

^|^{de matrices inversibles,}^|^{et on passe à droite toutes ces matrices élémentaires, car elles sont inversibles,}^|^{et puis ça montre que A est un produit de matrices inversibles}^|

2.8 Décomposition LU (existence)

^|^{matrices inversibles, pour faire l'inverse}^|

2.9 Décomposition LU (algorithme)

^|^{on sait qu'elle est inversible car c'est un produit de matrices inversibles.}^|

2.11 Décomposition en blocs

^|^{matrices inversibles. Ces deux matrices}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.6 La somme de sous-espaces vectoriels

^|^{d'être les matrices symétriques 2 x 2}^|^{des matrices symétriques. C'est un}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.8 Décomposition LU (existence)

^|^{matrices triangulaires sont très pratiques}^|^{Maintenant, j'ai un produit de matrices}^|^{produit de matrices triangulaires}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.4 Sous-espaces vectoriels

^|^{je prends A et B , deux matrices}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.3 Matrices carrées, inversibles, triangulaires, diagonales

^|^{On a déjà vu des matrices un peu pareilles,}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.6 La méthode d'élimination de Gauss

^|^{Dans cette vidéo, nous allons voir une méthode très importante,}^|^{qui s'appelle la méthode d'élimination de Gauss.}^|

1.7 Résolution de systèmes linéaires

^|^{j'utilise la méthode d'élimination de Gauss}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.11 Décomposition en blocs

^|^{multiplication par blocs,}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.3 Méthodes de résolution, opérations élémentaires

^|^{1.3 MÉTHODES DE RÉSOLUTION, OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES}^|^{que je vais appeler les opérations élémentaires.}^|^{les opérations élémentaires, produisent un nouveau système d’équations}^|^{…appelées les opérations élémentaires,}^|

1.4 Opérations élémentaires : version matricielle

^|^{les opérations élémentaires}^|^{ces opérations élémentaires,}^|^{opérations élémentaires, mais plutôt}^|^{effectuer les opérations élémentaires}^|^{"les opérations élémentaires",}^|

1.5 Matrices échelonnées, réduites

^|^{nos opérations élémentaires au niveau matriciel.}^|

1.6 La méthode d'élimination de Gauss

^|^{une matrice échelonnée réduite, en n'utilisant que des opérations}^|^{des opérations élémentaires sur la ligne pour la transformer en une}^|^{par une suite d'opérations élémentaires}^|^{car avec les opérations élémentaires, on peut toujours revenir en arrière.}^|^{on peut la transformer avec les opérations élémentaires en une matrice échelonnée.}^|^{si vous vous faites une suite d'opérations élémentaires}^|^{sur la matrice et moi je fais une autre suite d'opérations élémentaires,}^|

1.8 Résumé de la méthode, systèmes homogènes

^|^{et vous faites les opérations élémentaires sur la ligne de la matrice augmentée,}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.5 Matrices élémentaires

^|^{Comme nous avons des opérations}^|^{puisse utiliser ces opérations}^|

2.6 Premier critère d'inversibilité et calcul de l'inverse

^|^{Donc j'effectue une suite d'opérations élémentaires}^|^{Mais, maintenant, on sait que ces opérations élémentaires,}^|^{on est en train de faire exactement la même suite d'opérations élémentaires}^|^{d'opérations élémentaires}^|^{On va effectuer la suite d'opérations élémentaires}^|^{et je vais effectuer une suite d'opérations élémentaires}^|

2.8 Décomposition LU (existence)

^|^{opérations élémentaires qui rajoutent}^|

2.9 Décomposition LU (algorithme)

^|^{en faisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice.}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.9 Rang-ligne, rang-colonne d'une matrice

^|^{d'opérations élémentaires sur les lignes}^|^{Comme ces opérations élémentaires}^|^{une suite d'opérations élémentaires et}^|

4.12 Comment trouver une base à partir d'un système de générateurs

^|^{nos opérations élémentaires,}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.5 Matrices échelonnées, réduites

^|^{Et les pivots de cette matrice}^|^{On va repérer les pivots.}^|^{Donc, les pivots sont ici.}^|^{Donc, les pivots sont en effet égaux à 1}^|^{Alors, je repère des pivots.}^|^{Ces pivots sont égaux à 1.}^|^{Et dans la colonne de chacun de ces pivots,}^|^{Donc, les pivots :}^|^{Et puis maintenant, je regarde dans la colonne de chacun de ces pivots.}^|^{parce que les pivots sont des 1}^|

1.6 La méthode d'élimination de Gauss

^|^{les pivots ne sont pas égaux à 1, dans la colonne des pivots,}^|^{ou multiplier les lignes par quelque chose d'approprié pour avoir les pivots}^|

1.7 Résolution de systèmes linéaires

^|^{les pivots sont où ? les pivots sont là...}^|^{les pivots sont là...}^|

1.8 Résumé de la méthode, systèmes homogènes

^|^{et supposons que B a n pivots}^|^{Si B possède n pivots}^|^{et comme il y a n pivots}^|^{comme il y a n pivots,}^|^{Maintenant supposons que B possède moins de pivots}^|^{Donc si B possède disons r pivots}^|^{maintenant, je compte les pivots,}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.6 Premier critère d'inversibilité et calcul de l'inverse

^|^{je vais avoir n pivots.}^|^{il y a n pivots.}^|^{d'une matrice qui possède n pivots,}^|^{parce que si, ici, à un moment donné, on ne trouve pas n pivots,}^|^{comme ici j'ai trois pivots,}^|^{vous n'allez jamais avoir n pivots,}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{Cela signifie que l'on a 3 pivots,}^|

4.5 Bases dans un espace de dimension connue

^|^{Il y a quatre pivots,}^|

4.6 Systèmes homogènes et base de l'espace des solutions

^|^{Donc c'est n - le nombre de pivots,}^|

4.7 La dimension d'un sous-espace

^|^{pivots. Donc la première ligne reste,}^|^{qu'il y a 4 pivots, donc la seule solution}^|

4.9 Rang-ligne, rang-colonne d'une matrice

^|^{qu'ici on a les 3 pivots et c'est la}^|^{simple, est égal au nombre de pivots}^|^{avant. On voit qu'ici il y a 4 pivots}^|

4.12 Comment trouver une base à partir d'un système de générateurs

^|^{est égale au nombre de pivots donc}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.9 Rang-ligne, rang-colonne d'une matrice

^|^{de rang ligne et rang colonne d'une}^|^{ou Rm . Le rang colonne de A est la}^|^{à 3 , donc ça c'est le rang ligne.}^|^{Maintenant je considère le rang colonne.}^|^{rang colonne de A est au moins 3 mais}^|^{sous-espace de R3 et donc le rang}^|^{que le rang colonne = 3 .}^|^{Maintenant, qu'en est-il pour le rang}^|^{colonne ? Le rang colonne de A ... bon,}^|^{le rang colonne donc ces colonnes-là,}^|^{Aussi, le rang colonne de A est au plus n}^|^{le rang colonne de A est la même chose}^|^{rang ligne de A est la même chose que}^|^{le rang colonne de la transposée et ça}^|^{efficace calculer le rang ligne et le}^|^{rang colonne.}^|^{méthode efficace pour calculer le rang}^|^{ligne ou bien le rang colonne d'une}^|^{pour calculer le rang ligne d'une matrice}^|^{mais nous n'avons pas pu parler du rang colonne de la matrice}^|^{mais comme on sait que le rang colonne d'une matrice}^|^{est égal au rang ligne de la transposée,}^|^{on a une méthode pour calculer le rang colonne aussi.}^|^{Donc, le rang colonne de A c'est la même chose que le rang ligne de A transposée.}^|^{Pour calculer le rang colonne de A}^|^{J'ai dit que le rang ligne, le rang colonne de A}^|^{c'est le rang colonne de la transposée qui est au +4.}^|^{donc le rang ligne de cette matrice c'est égal à 4.}^|^{Du coup, le rang colonne de A est égal à 4.}^|^{On a d'abord défini ce qu'est le rang ligne et le rang colonne}^|^{basée sur l'élimination de Gauss, pour trouver le rang ligne}^|^{et le rang colonne d'une matrice quelconque.}^|

4.10 Rang-colonne et systèmes d'équations

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.9 Rang-ligne, rang-colonne d'une matrice

^|^{de rang ligne et rang colonne d'une}^|^{Le premier est le rang ligne. Le rang}^|^{rang ligne. Cela devrait être la}^|^{à 3 , donc ça c'est le rang ligne.}^|^{constater, c'est que le rang ligne de A}^|^{peut aussi constater que le rang ligne}^|^{a au plus m éléments. Le rang ligne}^|^{le rang colonne de A est la même chose}^|^{que le rang ligne de la transposée et le}^|^{rang ligne de A est la même chose que}^|^{efficace calculer le rang ligne et le}^|^{méthode efficace pour calculer le rang}^|^{Par conséquent, le rang ligne de A , qui}^|^{égal au rang ligne de B. La preuve n'est}^|^{démontrer après pour voir que le rang}^|^{ligne de A est égal au rang ligne de B .}^|^{le rang ligne. D'abord on doit voir quel}^|^{est le rang ligne d'une matrice}^|^{le rang ligne de A est égal, c'est tout}^|^{calculer le rang ligne de n'importe quelle}^|^{fois j'ai une base et je connais le rang}^|^{calculer le rang ligne. D'abord, je}^|^{constate que le rang ligne de A est au}^|^{sous-espace de R5 . Aussi, le rang ligne}^|^{donc le rang ligne. J'échelonne.}^|^{donc le rang ligne de A = 4 et une base}^|^{donc si je regarde ici, le rang ligne de}^|^{vais rajouter c'est cela, le rang ligne de}^|^{que trouver le rang ligne de A ou bien}^|^{De plus, comme le rang ligne de cette}^|^{et donc le rang ligne c'est juste le}^|^{nombre de lignes non-nulles. Le rang}^|^{pour calculer le rang ligne d'une matrice}^|^{mais comme on sait que le rang colonne d'une matrice}^|^{est égal au rang ligne de la transposée,}^|^{Donc, le rang colonne de A c'est la même chose que le rang ligne de A transposée.}^|^{Pour calculer le rang colonne de A}^|^{est égal au rang ligne de A transposée}^|^{Le rang ligne de A transposée est au plus 4, car c'est dans R4.}^|^{J'ai dit que le rang ligne, le rang colonne de A}^|^{Donc je sais que le rang ligne de cette matrice c'est au moins 4}^|^{donc le rang ligne de cette matrice c'est égal à 4.}^|^{On a d'abord défini ce qu'est le rang ligne et le rang colonne}^|^{basée sur l'élimination de Gauss, pour trouver le rang ligne}^|

4.10 Rang-colonne et systèmes d'équations

^|^{ainsi que le rang colonne et le rang ligne d'une matrice}^|^{je vais d'abord calculer le rang colonne de A}^|^{et ceci est égal à le rang ligne de A transposée.}^|^{et ensuite il sera facile de voir quel est le rang ligne ...}^|

4.12 Comment trouver une base à partir d'un système de générateurs

^|^{Je sais d'abord que le rang ligne de A =}^|^{le rang ligne de la forme échelonnée}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.1 Addition, multiplication par un scalaire, transposée

^|^{Et puis je commence avec l'addition, la multiplication par un scalaire}^|^{qui est la multiplication par un nombre réel, qui est appelée la multiplication scalaire}^|^{C'est la multiplication par un nombre réel ou multiplication scalaire}^|^{Dans un cas, on distribue la multiplication scalaire}^|^{Dans l'autre, on distribue l'addition des scalaires}^|^{par rapport à la multiplication scalaire.}^|^{On peut multiplier les scalaires d'abord ou faire deux multiplications scalaires.}^|^{Si je multiplie la matrice par un scalaire puis je transpose.}^|^{C'est comme transposer puis multiplier par le scalaire.}^|^{Si je prends n'importe quel scalaire, que je multiplie par la matrice nulle,}^|

2.2 La multiplication de matrices

^|^{appelle la multiplication scalaire), et}^|^{multiplication par un scalaire et la}^|^{matrice q x n et un scalaire.}^|^{par rapport à la multiplication scalaire,}^|^{le scalaire ou bien multiplier l'une des}^|^{deux matrices par le scalaire et ensuite}^|

2.4 Systèmes d'équations et matrices

^|^{On sait les additionner, multiplier par les scalaires,}^|

2.11 Décomposition en blocs

^|^{les scalaires ou bien même multiplier}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.1 Définition, premier contact

^|^{cela la multiplication par scalaire. On}^|^{par le scalaire lambda. Les éléments de}^|^{scalaires. Maintenant j'aimerais illustrer}^|^{scalaire 0 on obtient le vecteur nul et}^|^{n'importe quel scalaire on obtient le}^|^{par scalaire d'un vecteur donne le}^|^{vecteur nul, alors ou bien le scalaire}^|^{un v dans V et un scalaire. Si lambda}^|^{scalaire x le vecteur nul, ça donne le}^|^{par un scalaire, il y a 3 cas. Si je prends}^|^{multiplication par scalaires de ces}^|

3.2 L'espace des coordonnées

^|^{d'addition et de multiplication par un scalaire.}^|

3.3 D'autres exemples importants

^|^{Avec les opérations + et multiplication par un scalaire}^|^{l'addition et la multiplication par un scalaire,}^|^{On a défini les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire,}^|^{quand on multiplie par un scalaire, on retombe dans ℙn(ℝ)}^|^{et une multiplication par scalaire.}^|^{Et pour λ, la scalaire,}^|^{multiplier par les scalaires,}^|^{Donc, j'ai un scalaire qui est non nul,}^|^{si on a un scalaire qui multiplie un vecteur qui donne un vecteur nul,}^|^{ou bien le scalaire est 0, ou bien le vecteur est le vecteur nul.}^|^{Ici, on a un scalaire non nul, un vecteur non nul,}^|

3.4 Sous-espaces vectoriels

^|^{dans W et je prends le scalaire}^|^{peux multiplier par un scalaire, d'abord}^|^{faire les scalaires pour u dans W et}^|^{multiplier par un scalaire et je retourne}^|^{lambda, un scalaire. Si on imagine}^|^{ça ou vous multipliez par un scalaire et}^|

3.6 La somme de sous-espaces vectoriels

^|^{un scalaire, la combinaison linéaire}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{et des scalaires λ1 jusqu'à λr}^|^{C'est important ici on a des scalaires}^|^{et il y a au moins un de ces scalaires qui}^|^{me poser est : existe-t-il des scalaires}^|^{dans S et des scalaires, le même}^|^{nombre de scalaires non tous nuls}^|^{et des scalaires, λ 1 , λ 2 ,}^|

4.2 Dépendance et indépendance linéaires : propriétés et critères

^|^{dépendants, il existe des scalaires,}^|^{Cela implique qu'il existe des scalaires}^|^{scalaires, lambda 1 ... lambda r dans R}^|^{linéaire ou bien les scalaires sont}^|^{des scalaires alpha 1 , alpha t dans R}^|

4.5 Bases dans un espace de dimension connue

^|^{pour des scalaires α, β, γ, δ,}^|

4.6 Systèmes homogènes et base de l'espace des solutions

^|^{que, par exemple, là, si j'ai un scalaire}^|

4.8 La dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

^|^{et donc tous ces scalaires qu'on voit}^|

4.11 Coordonnées par rapport à une base

^|^{et on appelle les scalaires dans l'ordre}^|^{et un scalaire. Soit v1 , v2 dans V ,}^|^{et λ, un scalaire. Ce que j'ai écrit}^|^{par un scalaire, c'est la même chose que si,}^|^{que je multiplie par un scalaire.}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.6 La somme de sous-espaces vectoriels

^|^{somme directe, cela signifie que}^|^{est égal à la somme directe des deux.}^|^{W1 + W2 n'est pas une somme directe.}^|^{je prétends que V = la somme directe de}^|^{à la somme directe de ces deux}^|^{somme directe.}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.8 La dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

^|^{finies et on regarde la somme.}^|^{Supposons que j'ai la somme directe,}^|^{soit U la somme directe de deux}^|^{mais comme c'est une somme directe,}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.4 Sous-espaces vectoriels

3.5 Combinaisons linéaires, sous-espaces engendrés par une famille de vecteurs

^|^{sous-espace vectoriel, donc on peut en}^|^{le vect de S est un sous-espace}^|

3.6 La somme de sous-espaces vectoriels

^|^{à W1 et W2 . Ceci est un sous-espace}^|

3.7 Espace ligne, espace colonne d'une matrice

^|^{sous-espace vectoriel de Rn ou Rm.}^|^{de A le sous-espace vectoriel de Rn,}^|^{le sous-espace vectoriel engendré par}^|^{Maintenant je regarde le sous-espace}^|^{matrice est le sous-espace vectoriel}^|^{et on prend le sous-espace vectoriel}^|^{sous-espace vectoriel de R3 engendré}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{quand même engendrer le même sous-espace vectoriel}^|

4.6 Systèmes homogènes et base de l'espace des solutions

^|^{que c'est un sous-espace vectoriel de Rn.}^|^{c'est un sous-espace vectoriel et}^|

4.12 Comment trouver une base à partir d'un système de générateurs

^|^{Ensuite, je pose : W est le sous-espace}^|

Chapitre 1 : Systèmes d'équations linéaires

1.8 Résumé de la méthode, systèmes homogènes

^|^{puis ensuite j'aimerais parler d'un type de système particulier}^|^{qui s'appelle un système homogène et qui sera important par la suite.}^|^{Ça s'appelle un système homogène.}^|^{Maintenant, ce qui est différent avec un système homogène}^|^{Donc ici, pour un système homogène,}^|^{Maintenant, il y a autre chose qu'on peut simplifier quand on a un système homogène,}^|

Chapitre 2 : Algèbre matricielle

2.6 Premier critère d'inversibilité et calcul de l'inverse

^|^{le système homogène AX = 0}^|^{a la propriété que le système homogène possède une solution unique ;}^|^{mais, en particulier, le système homogène,}^|

2.7 D'autres critères d'inversibilité

^|^{Et je suppose aussi que j'ai une solution b du système homogène AX = 0.}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.4 Sous-espaces vectoriels

^|^{on a un système homogène, il y a}^|^{système homogène implique solution}^|^{je prends un système homogène, je}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{Maintenant j'ai un système d'équations}^|^{qui est un système homogène et c'est}^|^{car c'est un système homogène.}^|

4.5 Bases dans un espace de dimension connue

^|^{Alors, je vais utiliser la méthode pour résoudre le système homogène.}^|

4.6 Systèmes homogènes et base de l'espace des solutions

^|^{système homogène. On sait déjà ce}^|^{C'est un système homogène que je}^|

4.7 La dimension d'un sous-espace

^|^{- gamma - 3 delta = 0 . C'est un système}^|

Chapitre 3 : Espaces vectoriels

3.1 Définition, premier contact

^|^{V s'appellent les vecteurs et on appelle}^|^{vecteurs dans R2 donc ce sont deux}^|^{vecteurs ou de segments orientés dans}^|

3.2 L'espace des coordonnées

^|^{Donc, en fait, pour additionner deux vecteurs,}^|

3.3 D'autres exemples importants

^|^{qu'on ait un espace vectoriel avec un nombre fini de vecteurs ou d'éléments.}^|^{et je suppose que V possède au moins deux vecteurs distincts.}^|^{Alors, comme V possède au moins deux vecteurs,}^|^{je vais trouver une infinité de vecteurs distincts.}^|

3.4 Sous-espaces vectoriels

^|^{combinaison de deux vecteurs}^|^{partir du moment où il y a deux vecteurs}^|^{vecteurs. Donc si il y a deux solutions,}^|

3.5 Combinaisons linéaires, sous-espaces engendrés par une famille de vecteurs

^|^{linéaire de ces vecteurs est un vecteur}^|^{combinaison linéaire de ces vecteurs.}^|^{combinaisons linéaires des vecteurs}^|^{linéaires d'un nombre fini de vecteurs.}^|^{infini de vecteurs. Alors ici le vect de S}^|^{je prends 2 vecteurs qui sont là-dedans,}^|^{mu r wr , 2 vecteurs dans le vect de S .}^|^{Le fait que ces deux vecteurs sont dans}^|^{vecteurs qui appartiennent tous à S}^|^{Je prends les vecteurs ( 1 , 1 , 0 ) ,}^|^{ensemble de vecteurs dans R3 .}^|^{les vecteurs a b 0 où a et b sont dans R}^|^{vecteurs est inclus dans cet ensemble-là}^|^{combinaison linéaire de ces vecteurs-là,}^|^{ensemble de vecteurs. Je n'avais pas}^|^{On peut avoir une famille de vecteurs}^|

3.6 La somme de sous-espaces vectoriels

^|^{de vecteurs et créer le sous-espace}^|^{vecteurs u + v où u appartient à W1}^|^{deux vecteurs qui sont dans la somme.}^|^{Soit x et y , des vecteurs qui}^|^{fois qu'on prend 2 vecteurs là-dedans et}^|^{W1 , l'ensemble des vecteurs}^|^{vecteurs de la forme ( x , y , 0 ) ,}^|^{l'axe z donc on obtient tous les vecteurs}^|^{W2 , j'aurai tous les vecteurs de la forme}^|

3.7 Espace ligne, espace colonne d'une matrice

^|^{vecteurs dans R4. Donc on peut voir les}^|^{lignes de A comme des vecteurs dans}^|^{( 0 , 0 , 5 , 6 ) sont tous des vecteurs}^|^{vecteurs dans Rn, alors l'espace lignes}^|^{exactement le sous-espace des vecteurs}^|^{vecteurs de la forme a x le premier +}^|^{que chacun de ces 3 vecteurs est inclus}^|^{que les vecteurs ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ,}^|^{vues comme des vecteurs, cette fois,}^|^{vecteurs dans R3 . Je donne la définition}^|^{colonnes comme des vecteurs dans Rm}^|^{comme vecteurs dans R3 donc c'est}^|^{par ces 3 vecteurs. Je dois montrer que}^|^{chacun de ces 3 vecteurs est inclus.}^|

Chapitre 4 : Bases et dimension

4.1 Dépendance et indépendance linéaires

^|^{tous les vecteurs de V , et ce qu'on souhaite,}^|^{vecteurs ( 1 , 1 , 1 , 0 ) ,}^|^{en ces 4 vecteurs. Maintenant,}^|^{linéaire des 3 autres vecteurs qui est égale à}^|^{au vect de ces vecteurs-là.}^|^{de ces vecteurs, ensuite pour ce vecteur-ci}^|^{de ces 3 vecteurs-là. Cet espace vectoriel-ci}^|^{de ces 3 vecteurs, c'est inclus}^|^{est égal au vect de ces 3 vecteurs-là.}^|^{au lieu d'avoir 4 vecteurs, je pourrais n'avoir}^|^{une collection de vecteurs dans V .}^|^{est une famille liée s'il existe des vecteurs distincts}^|^{cette combinaison linéaire des vecteurs égale}^|^{... de vecteurs dans S se réduit}^|^{vecteurs dans S , donc si on ne peut pas}^|^{de vecteurs et faire une combinaison}^|^{linéaire des vecteurs dans S qui vaut 0}^|^{linéaire de vecteurs dans S qui donne}^|^{avec énormément de vecteurs}^|^{de vecteurs, existe-t-il un nombre fini}^|^{de vecteurs là-dedans, tel qu'il y a}^|^{infini avec un nombre infini de vecteurs.}^|^{lié s'il existe des vecteurs ici dedans}^|^{Comme il n'y a pas de vecteurs dans S, on aura}^|^{beau chercher des vecteurs dedans}^|^{parce que j'ai 4 vecteurs, non tous nuls}^|^{de vecteurs linéairement dépendants.}^|^{On peut dire que les vecteurs sont}^|^{Existe-t-il ... cette fois j'ai 3 vecteurs}^|^{libre ou bien on dit que les vecteurs}^|^{non tous nuls est non. Donc les vecteurs}^|^{comme vecteurs.}^|^{je vous donne une famille de vecteurs}^|^{une infinité de vecteurs là-dedans.}^|^{un nombre fini de vecteurs distincts}^|^{de ces vecteurs-là = 0 .}^|^{je dois poser même les vecteurs,}^|^{existe-i-il donc les vecteurs là-dedans,}^|^{donc ces vecteurs sont linéairement indépendants}^|^{fini de vecteurs quand on pose}^|

4.2 Dépendance et indépendance linéaires : propriétés et critères

^|^{Je me donne des vecteurs v1 jusqu'à vr}^|^{vecteurs mais ça donne quand même le}^|^{vecteurs qui sont linéairement}^|^{au vect de tous les autres vecteurs et}^|^{autres vecteurs, donc ça c'est}^|^{On a montré que si les vecteurs sont}^|^{engendré par les autres vecteurs.}^|^{vecteurs-là sont égaux. Je commence ici}^|^{vecteurs-là donc je peux l'écrire comme}^|^{vecteurs. C'est ce que j'écris ici.}^|^{J'ai des vecteurs et je peux écrire vi en}^|^{combinaisons linéaires de ces vecteurs.}^|^{linéaire de ces vecteurs, elle est incluse}^|^{vecteurs, donc prenons v dans le vect}^|^{linéaire de ces vecteurs-là. Donc c'est}^|^{combinaison linéaire des vecteurs v1 ,}^|^{peut trouver un ensemble de vecteurs}^|^{même sous-espace par ces vecteurs-là}^|^{on peut enlever un des vecteurs. Mais il}^|^{2 vecteurs-là. Donc c'est exactement ce}^|^{vecteurs comme une combinaison}^|^{sous-espace engendré par les vecteurs}^|^{premiers vecteurs ou bien aussi le vect}^|^{un des vecteurs comme une}^|^{vecteurs. Donc le vect de S = le vect ...}^|^{cela signifie qu'il existe des vecteurs}^|^{Ces vecteurs, étant dans T sont aussi}^|^{vecteurs dans S qui sont liés et cela}^|^{parce qu'ici je prends les vecteurs dans}^|^{tous ces vecteurs sont dans S qui est}^|^{dépendance entre des vecteurs dans T}^|

4.3 Bases et dimension

^|^{tous les vecteurs dans V, les combinaisons}^|^{linéaires des vecteurs dans V. La deuxième}^|^{on a déjà une famille de vecteurs}^|^{l'ensemble des vecteurs, 1, 0, 0,}^|^{combinaison linéaire de ces vecteurs-là}^|^{linéaire de ces vecteurs et trouver des}^|^{vecteurs nuls.}^|^{combinaison linéaire de ces vecteurs-là.}^|^{n vecteurs est lié.}^|^{Si j'ai un ensemble avec plus de vecteurs}^|^{Donc il y a plus que n vecteurs dedans.}^|^{donc cela fonctionne. Tous les vecteurs}^|^{vecteurs-là, W2 = béta 1 W1 + béta 2 V2}^|^{linéaire de tous ces vecteurs-là.}^|

4.4 Dimension

^|^{c'est l'ensemble des vecteurs (1, 0, 0...) (0,1, 0...) etc.}^|^{par un certain nombres de vecteurs même dans R^n}^|^{Après, je prends un ensemble de vecteurs qui engendrent V linéairement.}^|^{c'est que, si on prend l'espace vectoriel engendré par ces vecteurs-là,}^|^{alors on a un ensemble de vecteurs qui est générateur et libre}^|^{qui n'est pas dans le Vect des vecteurs que nous avons déjà.}^|^{ça implique que l'ensemble des vecteurs V1 jusqu'à Vr jusqu'à Vr + 1 est aussi libre.}^|^{et là je n'ai que trois vecteurs.}^|^{Du coup, j'ai écrit les quatre vecteurs de la base canonique.}^|^{J'ai les quatre vecteurs de la base canonique qui sont dans le Vect(B)}^|^{ici j'ai une famille de 1, 2, 3, 4 vecteurs dans P2(ℝ)}^|^{peut s'écrire comme une combinaison linéaire de ces vecteurs.}^|^{Après, je saurai que je peux engendrer tous les vecteurs à partir de S.}^|^{comme une combinaison linéaire des vecteurs dans S.}^|^{par exemple, je pourrais prendre les vecteurs x² - 1}^|^{en n'utilisant que ces deux vecteurs,}^|

4.5 Bases dans un espace de dimension connue

^|^{Il y a quatre vecteurs}^|^{qu'il y a une combinaison linéaire des vecteurs dans S qui vaut 0.}^|

4.6 Systèmes homogènes et base de l'espace des solutions

^|^{linéaire de ces vecteurs-là donc au moins}^|^{Et on voit aussi que ce sont deux vecteurs}^|^{de vecteurs qui seront linéairement}^|

4.7 La dimension d'un sous-espace

^|^{n vecteurs.}^|^{avec plus que n vecteurs. Donc je}^|^{le S choisi , possède au plus n vecteurs.}^|^{plus n vecteurs. Maintenant je prétends}^|^{n vecteurs, en plus que la dimension}^|^{de V , Bw possède n vecteurs.}^|^{et possède n = dimension de V vecteurs.}^|^{nombre de vecteurs qui est la dimension}^|^{que ces vecteurs-là sont linéairement}^|^{beta = gamma = delta . Ces vecteurs}^|

4.8 La dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels

^|^{l'ensemble, la collection de vecteurs que}^|^{Ça c'est une collection de vecteurs}^|^{ces vecteurs-là appartiennent au V de S}^|^{combinaison linéaire des vecteurs}^|^{vecteurs-là appartiennent à W2.}^|^{vecteurs u1 jusqu'à ur est une base de}^|

4.9 Rang-ligne, rang-colonne d'une matrice

^|^{de R4 engendré par ces 3 vecteurs-là.}^|^{Donc ici on voit bien que ces vecteurs}^|^{Deux vecteurs linéairement vraiment}^|^{vecteurs-là sont linéairement}^|^{de A est engendré par m vecteurs.}^|^{m vecteurs, on sait qu'on peut réduire}^|^{je les vois comme des vecteurs dans}^|^{par n vecteurs. Je veux corriger ici en}^|^{engendré par 4 vecteurs, les 4 lignes.}^|^{vecteurs linéairement indépendants et}^|^{difficile, j'ai ces 4 vecteurs et je veux}^|^{indépendant des vecteurs précédents là,}^|^{a fait avant parce qu'on a des vecteurs}^|^{vecteurs sont linéairement indépendants}^|^{3 vecteurs-là. J'aimerais trouver une}^|^{pose ces vecteurs comme dans les}^|^{vecteurs générateurs, là. On regarde W}^|^{Donc je pose mes vecteurs dans les}^|^{ligne est 5 , les vecteurs dans les}^|^{lignes ... ou cet ensemble de vecteurs}^|^{commencer avec deux vecteurs et puis}^|^{engendré par un ensemble de vecteurs}^|^{Normalement, on pourrait aussi dire que c'est au plus 5 car il y a 5 vecteurs}^|

4.10 Rang-colonne et systèmes d'équations

^|^{et cette base ce sont les vecteurs ( 1 , 1 , 3 ) et ( 0 , 1 , 1 ).}^|^{Mais je sais que pour ces 4 premiers vecteurs,}^|^{c'est le sous-espace engendré par tous ces vecteurs}^|^{et comme je sais que les 4 premiers vecteurs-là}^|^{engendrent le même espace engendré par ces deux vecteurs-ci,}^|^{ces deux vecteurs-là,}^|^{donc je change les vecteurs en lignes.}^|

4.11 Coordonnées par rapport à une base

^|^{est une suite ordonnée de vecteurs,}^|^{V et B comme ici et je prends deux vecteurs}^|^{que si je fais la somme de ces deux vecteurs}^|

4.12 Comment trouver une base à partir d'un système de générateurs

^|^{vecteurs colonne au lieu des vecteurs}^|^{vecteurs-là, mais mis en lignes.}^|^{sont les vecteurs ... je vais prendre,}^|^{Donc j'énumère les vecteurs dans S,}^|^{j'écris chacun de ces vecteurs comme}^|^{les vecteurs dans Rn, on cherche une}^|^{maintenant les vecteurs sont dans}^|^{les vecteurs colonne correspondants}^|^{les retourner en colonnes, les vecteurs}^|^{vecteurs dans V qui forment une base de W.}^|^{Ensuite, je vais poser ces vecteurs-là}^|^{échelonnée, ces vecteurs, je les change}^|^{en colonnes, donc les vecteurs colonne}^|^{les coordonnées des vecteurs dans V.}^|^{Ces vecteurs-là vont former un base de W.}^|^{et là, j'ai un ensemble de vecteurs,}^|^{4 vecteurs dans V, puis j'aimerais}^|^{par ces vecteurs et ensuite j'aimerais}^|^{de ces vecteurs par rapport à cette base,}^|^{quatre vecteurs comme les lignes}^|^{vecteurs-là mais en lignes.}^|^{un espace et les vecteurs dans Rn}^|^{trois vecteurs qui sont linéairement}^|^{indépendants de ces trois vecteurs}^|^{Sinon, quand on se donne trois vecteurs}^|